Distribución de probabilidad hipergeométrica.
Cuando la
probabilidad de éxito no es la misma en todos los ensayos cuando se realiza un
muestreo sin reemplazo en una población relativamente pequeña, no debe
aplicarse la distribución binomial. En lugar de ésta se aplica la distribución
hipergeométrica. Por lo tanto, 1) si se selecciona una muestra de una
población finita sin reemplazo y 2) si el tamaño de la muestra n es mayor que
5% del tamaño de la población N, se aplica la distribución hipergeométrica para
determinar la probabilidad de un número específico de éxitos o fracasos. Esto
resulta especialmente apropiado cuando el tamaño de la población es pequeño.
La fórmula de la
distribución de probabilidad hipergeométrica es la siguiente:
donde:
N representa el
tamaño de la población.
S es el número de
éxitos en la población.
x es el número de
éxitos en la muestra; éste puede asumir los valores 0, 1, 2, 3…
n es el tamaño de
la muestra o el número de ensayos.
C es el símbolo de
combinación.
En resumen, una
distribución de probabilidad hipergeométrica tiene las siguientes
características:
1. Los
resultados de cada ensayo de un experimento se clasifican en dos categorías
exclusivas: éxito o fracaso.
2. La
variable aleatoria es el número de éxitos de un número fijo de ensayos.
3. Los
ensayos no son independientes.
4. Los
muestreos se realizan con una población finita sin reemplazo y n/N > 0.05.
Por lo tanto, la probabilidad de éxito cambia en cada ensayo.
Ejemplo
Play Time Toys,
Inc., tiene 50 empleados en el departamento de ensamblado. Sólo cuarenta de
ellos pertenecen al sindicato. Se eligen al azar cinco empleados para formar un
comité que hablará con la empresa sobre los horarios de inicio de los turnos.
¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los cinco empleados elegidos para
formar parte del comité pertenezcan a un sindicato?
En este caso, la población consiste en los 50 empleados del
departamento de ensamblado. Sólo se puede elegir una vez a un empleado para
formar parte del comité. De ahí que el muestreo se lleve a cabo sin reemplazo.
Por lo tanto, en cada ensayo cambia la probabilidad de elegir a un empleado
sindicalizado. La distribución hipergeométrica es adecuada para determinar la
probabilidad. En este problema,
·
N
es igual a
50, el número de empleados.
·
S
tiene un
valor de 40, el número de empleados sindicalizados.
·
x
es igual a
4, el número de empleados sindicalizados elegidos.
·
n
vale 5, el
número de empleados elegidos.
Se
desea calcular la probabilidad de que 4 de los 5 miembros del comité sean
sindicalizados. Al sustituir estos valores en la fórmula, se obtiene:
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